Родилась 5 мая 1926 года в селе Большая Кандала Мелекесского уезда Самарской губернии (ныне Старомайнского района Ульяновской области). Русская. С 12 лет помогала взрослым на полевых работах. Трудовую деятельность начала в 1942 году разнорабочей, а затем поставлена дояркой в родильном отделении на молочнотоварной ферме.
В 1943—1980 годах работала дояркой в племсовхозе «КИМ» (Коммунистический интернационал молодёжи) Куйбышевского района Татарской АССР (ныне Спасского района Республики Татарстан).
В совершенстве освоила профессию животновода. В 1957 году от каждой из 15 коров закреплённой за ней группы Клавдия Константиновна надаивала по 3220 килограммов молока, в 1960 году — по 3570, в 1966-м — по 4005, а отдельные коровы-рекордистки давали до 6—7 тысяч килограммов молока, что было значительно выше социалистических обязательств. Такие показатели и в республике были редкими. Многократно занимала первые места в соревновании доярок района, постоянно делилась своим опытом с товарищами по работе.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 марта 1966 года за достигнутые успехи в развитии животноводства, увеличении производства и заготовок мяса и молока, Чегодаевой Клавдии Константиновне присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
Избиралась депутатом Верховного Совета Татарской АССР (1967—1971).
В 1980 году вышла на заслуженный отдых. Умерла 13 ноября 1997 года, похоронена на сельском кладбище посёлка совхоза «КИМ» Спасского района.
Награждена орденом Ленина (22.03.1966), медалями. Отмечена Почётной грамотой Президиума Верховного Совета РСФСР (1968). Лучшая доярка Татарской АССР (1965).
05.05.1926 - 13.11.1997 
